De Mandelbrot set is opgebouwd uit punten uitgezet op een complexe vlak een fractale vormen: een opvallende vorm of vorm waarin elk deel is eigenlijk een miniatuur exemplaar van het geheel. De ongelooflijk schitterende beeldspraak verborgen in de Mandelbrot-reeks was het mogelijk om te bekijken in de jaren 1500 dankzij Rafael Bombelli's begrip van de imaginaire getallen - maar het was pas Benoit Mandelbrot en anderen begonnen met het verkennen fractals met behulp van de geheime universum werd geopenbaard.
Nu we weten dat het bestaat, kunnen we het benaderen op een meer primitieve manier: met de hand. Hier is een methode voor het bekijken van een ruwe weergave van de set, net voor het doel van het begrijpen hoe het gedaan, je zal winnen dan een veel grotere waardering voor de renderings die je kunt maken met behulp van de vele computerprogramma's beschikbaar zijn, of dat je kunt bekijken op en.
Stappen
- 1Begrijp de basisformule, vaak uitgedrukt als z = z 2 + c. Dit betekent simpelweg dat, voor elk punt in de Mandelbrot heelal die we willen zien, houden we berekenen z totdat een van de twee situaties zich voordoet, dan kleuren we het om te laten zien hoeveel berekeningen we maakten. Maak je geen zorgen! Dit blijkt in de volgende stappen worden.
- 2Krijg 3 verschillende kleuren, of kleurpotloden, of vilt-tip markers, plus een zwarte of om de omtrek te maken. De reden dat we willen drie kleuren is omdat we een eerste benadering te maken met niet meer dan 3 iteraties (pasjes, of in andere woorden, het toepassen van de formule tot 3 keer per punt):
- 3Met de zwarte marker, trekken een grote tic-tac-teen board, 3 bij 3 vakjes, op een stuk papier.
- 4Label (ook zwart) het middelste vierkant (0, 0). Dit is de constante (c) waarde van het punt in het exacte midden van het plein. Nu laten we zeggen dat elk vierkant is 2 eenheden breed, dus voegen en / of aftrekken 2 naar / van de x-en y-waarden van elk plein, waarbij x het eerste getal en y zijnde het tweede nummer. Als je klaar bent, zal het eruit als wat je hier ziet afgebeeld. Wanneer u de cellen over te brengen, moet de y-waarden (het tweede getal) gelijk zijn, wanneer u de cellen naar beneden, moet de x-waarden (het eerste getal) gelijk zijn.
- 5Bereken de eerste doorgang of iteratie van de formule. U, als de computer (in feite, de oorspronkelijke betekenis van het woord was "een persoon die berekent") kan dit zelf doen. Laten we beginnen met deze veronderstellingen:
- Het uitgangspunt z waarde van elk vierkant (0, 0). Wanneer de absolute waarde van z, voor een gegeven punt, groter of gelijk aan 2, wordt dat punt (en de bijbehorende square) de genoemde Mandelbrotverzameling te zijn ontsnapt. Wanneer dat gebeurt, zal u het plein kleur volgens het aantal iteraties van de formule die u hebt toegepast op dat punt.
- Kies de kleuren die u wilt gebruiken voor pas 1, pas 2, en passeren 3. Laten we aannemen dat rood, groen en blauw, respectievelijk voor toepassing van dit artikel.
- Bereken de waarde van z voor de linkerbovenhoek van de tic-tac-teen board, uitgaande van een beginnend z-waarde van 0 +0 i of (0, 0) (zie Tips voor een beter begrip van deze voorstellingen). Wij gebruiken de formule z = z 2 + c zoals in de eerste stap. U zult snel zien dat, in dit geval, z 2 + c is gewoon c z 2 + c>, aangezien nul kwadraat is nog steeds nul. En wat is c voor dit plein? (-2, 2).
- Bepaal de absolute waarde van dit punt, de absolute waarde van een complex getal (a, b) is de vierkantswortel van 2 + b 2. Nu, daar zullen we dit vergelijken met een bekende waarde: 2, kunnen we voorkomen dat worteltrekken door het vergelijken van een 2 + b 02-02 februari, waarvan we weten gelijk 4. In deze berekening, a = b = -2 en 2.
- ([-2] 2 + 2 2) =
- (4 + 4) =
- 8, die groter is dan 4.
- Het heeft de reeks Mandelbrot ontsnapte na de eerste berekening, omdat de absolute waarde groter is dan 2. Kleur het met de door u gekozen voor pas 1.
- Doe hetzelfde voor elk vierkant op het bord, met uitzondering van het centrum plein, dat niet zal ontsnappen aan de reeks Mandelbrot door de 3e pas (noch zal het ooit te ontsnappen). Dus je hebt alleen gebruikt twee kleuren: de pas 1 kleur voor alle uiterlijke pleinen, en de pas 3 kleuren voor het middelste vierkant.
- 6Laten we proberen een vierkant 3 keer groter, 9 bij 9, maar nog steeds het houden van maximaal 3 iteraties.
- 7Begin met de 3e rij omlaag, want dat is waar het interessant wordt meteen.
- Het eerste element, (-2, 1) groter is dan 2 (omdat (-2) 2 + 1 2 blijkt te zijn 5) dus laten we verf die een rode, als het ontsnapt de reeks Mandelbrot op de eerste pass.
- Het tweede element, (-1.5, 1) blijkt dat niet meer dan 2 te zijn. De formule van absolute waarde, x 2 + y 2, met x = -1,5 en y = 1:
- (-1.5) 2 = 2.25
- 1 2 = 1
- 2.25 + 1 = 3.25, minder dan 4, zodat de wortel is minder dan 2.
- Dus we gaan naar onze tweede pas, berekenen z 2 + c met behulp van de snelkoppeling (x 2-y 2, 2xy) voor z 2 (zie Tips voor hoe deze snelkoppeling wordt afgeleid), nog steeds met met x = -1,5 en y = 1:
- (-1.5) 02-01 februari wordt 2,25-1, die overgaat 1.25;
- 2xy, aangezien -1.5 x en y 1, wordt 2 (-1.5), die oplevert -3,0;
- Dit geeft ons az 2 (1.25, -3)
- Voeg nu c voor deze cel (voeg x naar x, y naar y) opbrengst (-0.25, -2)
- Laten we eens testen of de absolute waarde ervan is nu groter dan 2:. Bereken x 2 + y 2:
- (-.25) 2 = 0,0625
- -2 2 = 4
- 0,0625 + 4 = 4,0625, de wortel uit die groter is dan 2, dus het is na de tweede iteratie ontsnapt: onze eerste groene!
- Zoals u bekend met de berekeningen te worden, zul je soms in staat zijn om te vertellen welke ontsnappen de reeks Mandelbrot gewoon door een blik op de cijfers. In dit voorbeeld is de component y een grootte van 2, die bij gekwadrateerd en toegevoegd aan het kwadraat van het andere getal groter dan 4 is. Elk getal groter dan 4 hebben een wortel groter dan 2. Zie hieronder de tips voor een meer gedetailleerde uitleg.
- Het derde element, met ac waarde van (-1, 1) ontsnapt niet aan de eerste pas: omdat zowel 1 en -1 als kwadraat is 1, x 2 + y 2 is 2. Dus we berekenen z 2 + c, met behulp van de snelkoppeling (x 2-y 2, 2xy) voor z 2:
- (-1) 2 -1 2 wordt 1-1, dat is 0;
- 2xy is dan 2 (-1) = -2;
- z 2 = (0, -2)
- toevoeging c krijgen we (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)
- Dat is nog steeds dezelfde absolute waarde als voorheen (de vierkantswortel van twee, ongeveer 1,41), voortgezet met een derde iteratie:
- ([-1] 2) - ([-1] 2) wordt 1-1, die 0 (wederom)...
- maar nu 2xy is 2 (-1) (-1), die positief 2, waarbij az 2 waarde van (0, 2)
- c voegen krijgen we (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3), waarvan een met een 2 + b 2 of 10, veel groter is dan 4.
- Dus deze ene ontsnapt ook. Kleur van de cel in met je derde kleur, blauw, en ga naar het volgende, aangezien we drie iteraties hebben afgerond met dit punt.
- Het feit dat we met behulp van slechts drie kleuren duidelijk wordt als een probleem hier, want iets dat ontsnapt na slechts 3 iteraties is gekleurd het zelfde als (0, 0), die nooit ontsnapt; uiteraard hebben we nog steeds niets dicht bij het zien Mandelbrot "bug" op dit niveau van detail.
- 8Verdere berekeningen van elke cel totdat deze is ontsnapt, of dat u het maximale aantal iteraties (het aantal kleuren dat u gebruikt: 3 in dit voorbeeld) hebben bereikt, op welk punt je het te kleuren. Hier is hoe de 9 bij 9 matrix ziet er na 3 herhalingen op elke vierkante... lijkt erop dat we iets op het spoor!
- 9Herhalen van dezelfde matrix opnieuw met meer kleuren (iteraties) om de komende lagen te onthullen, of beter, het opstellen van een veel grotere matrix voor een project op langere termijn! Je krijgt meer accurate foto's door:
- Verhoging van het aantal cellen, dit is 81 cellen per zijde. Let op de gelijkenis met de 9 bij 9 matrix boven, maar veel gladder randen van de cirkel en ovaal.
- Verhoging van het aantal kleuren (iteraties) hieraan is 256 tinten voor elk van rood, groen en blauw voor een totaal van 768 kleuren in vergelijking 3. Merk op dat je nu kunt zien de contouren van het bekende Mandelbrot "meer" (of "bug", afhankelijk van hoe je het bekijkt). Het nadeel is de hoeveelheid tijd die het kost, als je elke iteratie kan berekenen in 10 seconden, dat is ongeveer 2 uur voor elke cel in, of dicht bij, de Mandelbrot meer. Al is dat een relatief klein deel van de 81 door 81 matrix, zou het waarschijnlijk nog een jaar duren om het te voltooien, zelfs als je gewerkt op het voor enkele uren per dag. Dit is waar het type silicium van de computer van pas komt.
Tips
- Waarom doet z 2 = (x 2-y 2, 2xy)?
- Om twee complexe getallen als (a, b) met (c, d), gebruikt u de volgende formule, uitgelegd in dit Mathworld artikel: (a, b) (c, d) = (ac - bd, bc + ad)
- Houd in gedachten dat een complex getal heeft een "echte" en een "imaginair" deel, waarbij de laatste een reëel getal vermenigvuldigd met de vierkantswortel van negatieve 1, vaak aangeduid als i. Het complex getal (0, 0), is bijvoorbeeld 0 0 i en (-1, -1) is (-1) + (-1 * i).
- Nog steeds bij ons? Vergeet niet dat de a en c a> termen zijn echt, en de b en d b> termen zijn denkbeeldig. Dus als de imaginaire termen met elkaar worden vermenigvuldigd, de vierkantswortel van negatieve 1 vermenigvuldigd met zichzelf levert negatieve 1, ontkennen het resultaat en maakt het echt en dat de nummers ad en bc ad> blijven denkbeeldig, omdat de vierkantswortel van negatieve 1 is nog steeds een looptijd van die producten. Daarom hebben we ac - bd als het reële deel, en bc + ad als het imaginaire deel.
- Nu, aangezien we de kwadratuur van de cijfers in plaats van twee verschillende getallen te vermenigvuldigen, dit kan worden vereenvoudigd een beetje, aangezien a = c en b = d, hebben we het product als (a 2-b 2, 2ab). En aangezien we in kaart brengen van de "complexe vlak" aan de "cartesiaanse vliegtuig", met de x-as die "echte" en de y-x> as die "denkbeeldig", zullen we ook verwijzen naar deze als (x 2-y 2, 2xy) (x-2 y 2.
- Wilt u meer weten over het beoordelen van de absolute waarde van een complex getal zonder arbeidende door de berekeningen?
- De absolute waarde van een complex getal (a, b) is de vierkantswortel van 2 + b 2, gelijk aan de formule voor een rechthoekige driehoek, aangezien een en b a> vertegenwoordigd loodrecht op elkaar op het Cartesiaanse rooster (de x-en y-coördinaten respectievelijk). Daarom, omdat we weten dat de reeks Mandelbrot wordt begrensd door de waarde van 2, en het kwadraat van 2 is 4, kunnen we omzeilen na te hoeven denken over de wortels gewoon door te kijken of x 2 + y 2> = 4.
- Als een van beide been van een juiste driehoek heeft lengte> = 2, dan is de schuine zijde (diagonaal kant) moeten ook langer dan 2. Als je niet ziet waarom dit zo is, breng een paar rechthoekige driehoeken op een cartesiaanse rooster en het zal duidelijk worden, of denk maar aan het op deze manier: 2 2 = 4, en het toevoegen van een positief getal aan dat (en kwadratuur van een negatief getal resulteert altijd positief) niet kunnen leiden tot iets minder dan 4. Daarom, wanneer de x-of y-component van een complex getal heeft een grootte van 2 of meer, de absolute waarde van dat aantal groter dan of gelijk aan 2, en heeft de Mandelbrotverzameling ontsnapt.
- Aan de "virtuele breedte" van elke cel berekenen, deelt de "virtuele diameter" in het "aantal cellen min een". We zijn met behulp van een virtuele diameter van 4 in de bovenstaande voorbeelden, want we willen alles binnen de straal van 2 (de reeks Mandelbrot wordt begrensd door de waarde van 2) te tonen. Voor de 3-zijdige benadering, dat is 4 / (3-1), die 4/2, wat gelijk 2. Voor de 9-sided vierkant, het is 4 / (9-1). 2>, die 4/8, wat gelijk 0.5. Gebruik dezelfde virtuele cel grootte voor zowel de hoogte en breedte, zelfs als je een kant te maken langer dan de andere, anders de set zal worden vervormd.
- Als je het berekenen van een cel over en over, en merken een resultaat dat precies hetzelfde is als degene die je al hebt voor die cel, weet je dat je gevangen in een eindeloze lus, die cel zal nooit ontsnappen! Dus je kunt een snelkoppeling, kleur die cel te nemen met uw uiteindelijke kleur, en doorgaan naar de volgende. (0, 0) is duidelijk een van die cellen.
Waarschuwingen
- Wiskunde kan erg verslavend, net als iets anders, maar het zal waarschijnlijk niet schadelijk voor uw lever of longkanker veroorzaken.