Hoe oplossen van differentiaalvergelijkingen

Een volledige cursus in differentiaalvergelijkingen gaat om toepassingen van derivaten te worden bestudeerd na twee of drie semester cursussen in calculus. Een derivaat is de mate van verandering van een hoeveelheid boven een andere, bijvoorbeeld, de snelheid waarmee een object verandert met betrekking tot de tijd (te vergelijken helling). Dergelijke tarieven van verandering opdagen vaak in het dagelijks leven. Bijvoorbeeld, de wet bepaalt dat de snelheid van belang accumulatie is evenredig aan het basisbedrag van geld, gegeven door dy / dt = ky, waarbij y de som geld verdienen van samengestelde rente, t is tijd, en k een constante ( dt is een ogenblikkelijke tijdsinterval). Hoewel, meestal, credit card rente wordt dagelijks samengestelde en gerapporteerd als het JKP, jaarlijks kostenpercentage - nog een differentiaalvergelijking kan worden opgelost met de momentane oplossing te geven y = ce ^ (kt), waarbij c een willekeurige constante (de vermelde rente). Dit artikel zal u tonen hoe te typen differentiaalvergelijkingen die vaak voorkomen, vooral in de mechanica en lossen.

1. 1
   Samengestelde interest wet: de rentevoet accumulatie is evenredig aan het basisbedrag van geld. Meer in het algemeen de snelheid van verandering ten opzichte van een onafhankelijke variabele is evenredig met de overeenkomstige waarde van de functie. Namelijk als y = f (t), dy / dt = ky. Het oplossen van deze volgens de methode van scheiden variabele, krijgen we y = ce ^ (kt), waarbij y een som geld accumuleren bij samengestelde rente, c een willekeurige constante, k is het rentepercentage, bijvoorbeeld de rente in dollars op een dollar een jaar, t de tijd. Tijd, daarom is geld.
   • Merk op dat de rente wet verbinding tot vele gebieden van het dagelijks leven van toepassing is. Stel bijvoorbeeld dat je probeert om een zoute oplossing te verdunnen door stromend water in de oplossing te zijn zoutconcentratie te verlagen. Hoeveel water heb je nodig om toe te voegen, en hoe de concentratie van de oplossing wijziging ten opzichte van de koers die u het water lopen?
     Laten we s = hoeveelheid zout in de oplossing op elk gewenst moment, x = de hoeveelheid water die is doorlopen, en v = volume van de oplossing. De zoutconcentratie van het mengsel wordt gegeven door s / v. Stel nu dat een volume Ax wordt gelekt uit de oplossing, zodat de hoeveelheid zout uitgelekt is (en / v) Ax, vandaar de verandering in de hoeveelheid zout, AS, wordt gegeven door AS = - (s / v) Ax. Verdeel beide naast Ax, om AS / Ax = - (s / v). Neem de limiet Ax -> 0, en we hebben ds / dx =-s / v, een differentiaal vergelijking in de vorm van de rentewet verbinding, waarbij y nu s, t nu x en k Nu -1 / v.
   • Wet van Newton is nog een andere variant van de rente wet compound. Het bepaalt dat de tijd-snelheid van afname in lichaamsgewicht temperatuur boven de temperatuur van de omgevingslucht is evenredig met de lichaamstemperatuur boven die van de omringende lucht. Laat x = lichaamstemperatuur boven die van de omringende lucht, t = tijd, hebben we dx / dt = kx, waar k een constante is. De oplossing van deze differentiaalvergelijking x = ce ^ (kt), waarbij c een willekeurige constante, zoals hierboven. Stel dat deze overmaat temperatuur, x, was eerst 80 graden, en daalt tot 70 graden na een minuut. Wat zal het zijn na 2 minuten?
     Laat t = tijd in minuten, x = hoge temperatuur in graden, hebben we 80 = ce ^ (k * 0) = c. Ook 70 = ce ^ (k * 1) = 80 e ^ k, dus k = ln (7/8). Dus x = ^ 70e (ln (7/8) t) is een bepaalde oplossing voor dit probleem. Nu plug in t = 2, hebben x = 70e ^ (ln (7/8) * 2) = 53,59 graden na 2 minuten wij.
   • In atmosferische thermodynamica, atmosferische druk p boven de zeespiegel verandert in verhouding tot de hoogte h boven de zeespiegel - nog een andere variant van de rente wet compound. De differentiaalvergelijking hier dp / dh = kh, waarbij k een constante.
   • In de snelheid van een chemische reactie waarbij x de hoeveelheid omgezet in de tijd t is de tijd-snelheid van verandering van x. Laat a = concentratie aan het begin van de reactie, dan dx / dt = k (ax), waarbij k de snelheidsconstante. Dit is een andere variant van de samengestelde interest wet waar (ax) is nu de afhankelijke variabele. Zien dat d (ax) / dt =-k (ax), zodat d (ax) / (ax) =-kdt. Integreren, om ln (ax) =-kt + a, omdat ax = a op tijdstip t = 0. Herschikken, zien we dat de snelheidsconstante k = (1 / t) ln (a / (ax)).
   • Elektromagnetisme, gegeven met een spanning V en stroom i (ampère), wordt de spanning V verbruikte overwinnen van de weerstand R (ohm) van het circuit en de inductantie L, zoals bepaald door de vergelijking V = L + iR (di / dt ) of di / dt = (V - iR) / L. Dit is een andere variant van de rentewet mengsel waarbij V - iR nu de afhankelijke variabele.
2. 2
   In de akoestiek, heeft eenvoudige harmonische trillingsversnellingen zijn recht evenredig met de negatieve van de afstand. Bedenk dat versnelling is de tweede afgeleide van de afstand, dus d ² s / dt ² + k ² s = 0, waarbij s = afstand, t = tijd, en k ² is de grootte van de versnelling op unit afstand. Dit is de eenvoudige harmonische vergelijking, een tweede orde lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten, zoals opgelost in figuur 6, de vergelijkingen (9) en (10). De oplossing is s = c ₁ cos kt + c ₂ sin kt.
   Dit kan verder worden vereenvoudigd door het instellen van c ₁ = b sin A, c ₂ = b cos A. Vervang deze in, tot b sin A cos kt + b cos Een zonde kt krijgen. Recall van driehoeksmeting, dat sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y, zodat de uitdrukking reduceert tot s = b sin (kt + A). De golfvorm gehoorzamen van de eenvoudige harmonische vergelijking schommelt tussen b en-b, met periode 2π / k.
   • Trillende veer: neem een voorwerp, met massa m, op een trillende veer. Door de wet van Hooke, wanneer de veer wordt uitgerekt of samengeperst s eenheden uit zijn natuurlijke lengte (of evenwichtssituatie), oefent een herstellende kracht F evenredig met s, of F = - k ² s. Door Tweede Wet van Newton (kracht gelijk aan massa maal versnelling), hebben we md ² s / dt ² = - k ² s, of md ² s / dt ² + k ² s = 0, die een uiting is van de eenvoudige harmonische vergelijking.
   • Gedempte trillingen: rekening houden met de trillende veer zoals hierboven, met een dempende werking. Een demping enig effect, zoals wrijving, die de neiging heeft de amplitude van de oscillaties verminderen een oscillator. Bijvoorbeeld, kan een demping worden geleverd door een schokdemper in een auto. In de meeste gevallen, de dempingskracht F _d, ongeveer evenredig met de snelheid van het object, of F = _d - c ² ds / dt, waarbij c ² is een constante. Het combineren van de dempingskracht met de herstellende kracht, hebben we - k ² s - c ² ds / dt = md ² s / dt ^2, door de tweede wet van Newton. Of, md ² s / dt ² + c ² ds / dt + k ² s = 0. Deze differentiaalvergelijking is een tweede-orde lineaire vergelijking die kan worden opgelost door het oplossen van de karakteristieke vergelijking mr ² + c ² r + k ² = 0, na vervanging s = e ^ (rt).
     Het oplossen van dit door de kwadratische formule, krijgen we r ₁ = (- c ² + sqrt (c ⁴ - ⁴ mk ²⁾⁾ / 2 m; r ₂ = (- c ² - sqrt (c ⁴ - ⁴ mk ²⁾⁾ / 2 m.
     • Overdamping: als c ⁴ - 4mK ^2> 0, ₁ r en _r2 echt en onderscheiden. De oplossing is s = c ₁ e ^ (r ₁ t) + c ₂ e ^ (r ₂ t). Aangezien c ^2, m en ^k2 zijn positief sqrt (c ⁴ - 4mK ²⁾ moet minder dan ² c, hetgeen impliceert dat zowel wortels, _r1 en _r2, negatief en de functie in exponentieel verval. In dit geval heeft oscillatie optreden. Een sterke demping, bijvoorbeeld, kan worden geleverd door een hoge viscositeit olie of vet.
     • Kritische demping: als c ⁴ - 4mK ² = 0, r = ₁ r ₂ =-c ² / 2m. De oplossing is s = (c + c _{1 2} t) e ^ ^((c-2 / 2m) t). Dit is nog steeds exponentieel verval, zonder trilling. Echter, de geringste vermindering van dempingskracht veroorzaken object oscilleert langs het evenwichtspunt.
     • Underdamping: Als c ⁴ - 4mK ² <0, de wortels zijn complex, gegeven door - c/2m + / ​​- ω i, waarbij ω = sqrt (4 mk ² - c ⁴⁾⁾ / 2 m. De oplossing is s = e ^ (- (c ² / 2m) t) (c ₁ cos ω t + c ₂ sin ω t). Dit is een trilling gedempt door de factor e ^ (-. (C ² / 2m) t Aangezien zowel c ² en m positieve, e ^ (- (c ² / 2m) t) naar nul gaat als t oneindig nadert. dus uiteindelijk de motie zal vervallen tot nul.

• Veel differentiaalvergelijkingen eenvoudigweg niet worden opgelost door de bovenstaande werkwijzen. Bovenstaande methoden zijn echter voldoende om veel belangrijke differentiaalvergelijkingen vaak tegengekomen.
• Vervangen door uw oplossing terug in de oorspronkelijke differentiaalvergelijking, om te zien of de vergelijking wordt voldaan. Zo kunt u controleren of u de differentiaalvergelijking correct hebt opgelost.
• Opmerking: het omgekeerde van differentiaalrekening heet integraalrekening, die zich bezighoudt met de som van de effecten van continu veranderende hoeveelheden, bijvoorbeeld het berekenen van de afstand (te vergelijken met d = rt) gedekt door een object wanneer de momentane tarieven (snelheden) over een tijdsinterval bekend.

• Unlike differentiatie, waarbij het derivaat van een bepaalde expressie kan worden berekend, de integraal van vele uitdrukkingen eenvoudigweg niet worden berekend. Dus geen afval uw tijd proberen om een ​​uitdrukking die niet geïntegreerd kunnen worden geïntegreerd. Maar zorg ervoor dat u een tabel van integralen te gaan controleren. De oplossing van een differentiaalvergelijking wordt geacht tot stand als het is teruggebracht tot een uitdrukking met integralen, of de feitelijke integratie kan plaatsvinden of niet.

• Papier
• Pen of potlood
• Een tabel van integralen kan helpen