Hoe om herhaling relaties lossen

Rekenkunde

1. 1
   Overweeg een rekenkundige rij zoals 5, 8, 11, 14, 17, 20,....
2. 2
   Aangezien elke term 3 groter dan de voorgaande, kan worden uitgedrukt als een herhaling zijn.
3. 3
   Erkennen dat elke herhaling van de vorm a _n = a _n-1 + d is een rekenkundige rij.
4. 4
   Schrijf de gesloten-vorm formule voor een rekenkundige rij, eventueel met onbekenden zoals afgebeeld.
5. 5
   Los voor onbekenden afhankelijk van de sequentie werd geïnitialiseerd. In dit geval, aangezien 5 was 0 ^th termijn de formule is _n = 5 + 3n. Als in plaats daarvan, je wilde 5 aan de eerste termijn, zou je een _n = 2 + 3n.

Meetkundig

1. 1
   Beschouw een meetkundige rij zoals 3, 6, 12, 24, 48,....
2. 2
   Aangezien elke term is tweemaal de voorgaande, kan worden uitgedrukt als een herhaling zijn.
3. 3
   Erkennen dat elke herhaling van de vorm a _n = r * a _n-1 is een meetkundige rij.
4. 4
   Schrijf de gesloten-vorm formule voor een meetkundige rij, eventueel met onbekenden zoals afgebeeld.
5. 5
   Los voor onbekenden afhankelijk van de sequentie werd geïnitialiseerd. In dit geval, aangezien 3 was 0 ^th termijn de formule is _n = 3 * 2 ^n. Als in plaats daarvan, je wilde 3 aan de eerste termijn, zou je een _n = 3 * 2 ^(n-1).

Polynomial

1. 1
   Denk aan de volgorde 5, 0, -8, -17, -25, -30,... gegeven door de getoonde recursie.
2. 2
   Elke recursie van de volgorde, waarin p (n) is elke polynoom in n, een polynoom gesloten vorm formule mate een hoger is dan de graad van p hebben.
3. 3
   Voeg de algemene vorm van een polynoom van de vereiste. In dit voorbeeld p ​​kwadratisch, zodat we een kubieke moeten de sequentie een _n vertegenwoordigen.
4. 4
   Aangezien een algemene kubieke heeft vier onbekende coëfficiënten, zijn vier termen van de sequentie die nodig is om het resulterende systeem op te lossen. Elke vier zal doen, dus laten we gebruiken termen 0, 1, 2, en 3. Het uitvoeren van de herhaling achteren om de -1 ^ste term voorbeeld zou een eenvoudiger systeem te lossen geven, maar is niet noodzakelijk.
5. 5
   Los het resulterende systeem van deg (p) 2 vergelijkingen in deg (p) = 2 onbekenden zoals afgebeeld.
6. 6
   Als was een van de termen die u gebruikt om op te lossen voor de coëfficiënten, krijg je de constante term van de veelterm gratis en kan direct verminderen het systeem om deg (p) 1 vergelijkingen in deg (p) 1 onbekenden zoals afgebeeld.
7. 7
   Los het stelsel van lineaire vergelijkingen om erachter c ₃ = 1/3, c ₂ = -5 / 2, c = ₁ -17 / 6, en c = 5. Presenteer de gesloten formule voor een _n als een polynoom met bekende coëfficiënten.

Lineair

1. 1
   Dit is de eerste methode kan oplossen de Fibonacci sequentie in de inleiding, maar de werkwijze lost een herhaling waarbij de ⁿ term is een lineaire combinatie van de voorgaande k voorwaarden. Dus laten we proberen het op de verschillende getoonde voorbeeld wier eerste termen zijn 1, 4, 13, 46, 157,....
2. 2
   Schrijf de karakteristieke polynoom van de herhaling. Dit wordt gevonden door het vervangen van elk een _n in de herhaling van x ⁿ en te delen door x ^(nk) verlaten van een monische veelterm van graad k en een nul constante term.
3. 3
   Los de karakteristieke polynoom. In dit geval heeft de karakteristieke graad 2 zodat we gebruiken kwadratische formule zijn wortels.
4. 4
   Elke uiting van de vorm die voldoet aan de recursie. De _ci zijn alle constanten en de basis van de exponenten de wortels van de karakteristieke hierboven gevonden. Dit kan worden gecontroleerd door middel van inductie.
   • Als de eigenschap heeft een meervoudige wortel, wordt deze stap lichtjes gewijzigd. Als r is een wortel van veelheid m, gebruiken (c ₁ r ⁿ + c ₂ nr. ⁿ + c ₃ n ² r ⁿ +... + c _m n ^m-1 r ⁿ⁾ in plaats van alleen (c ₁ r ⁿ⁾. Bijvoorbeeld, de sequentie beginnend 5, 0, -4, 16, 144, 640, 2240,... voldoet aan de recursieve relatie een _n = 6a _n-1 - 12a _n-2 + 8a _n-3. De karakteristieke polynoom heeft een drievoudige wortel van 2 en de gesloten vorm formule a _n = 5 * 2 ^​​n - 7 * n * 2 ⁿ + 2 * n ² * 2 ^n.
5. 5
   Zoek de c _i die voldoen aan de opgegeven beginvoorwaarden. Zoals met de polynoom voorbeeld gebeurt dit door een lineaire stelsel vergelijkingen van de eerste voorwaarden. Aangezien dit voorbeeld heeft twee onbekenden, moeten we twee termen. Elke twee zal doen, dus neem de 0 ^e en 1 ^e te voorkomen dat een irrationeel getal te verhogen tot een hoog vermogen.
6. 6
   Los het resulterende stelsel vergelijkingen.
7. 7
   Steek de resulterende constanten in de algemene formule als de oplossing.

Genererende functies

1. 1
   Denk aan de volgorde 2, 5, 14, 41, 122... gegeven door de getoonde recursie. Dit kan niet worden opgelost door een van de bovenstaande werkwijzen, maar een formule gevonden met genererende functies.
2. 2
   Schrijf de genererende functie van de sequentie. Een genererende functie is gewoon een formele machtreeks waarin de coëfficiënt van x ⁿ is de ^n-de term van de reeks.
3. 3
   Manipuleren van de genererende functie zoals aangegeven. Het doel van deze stap is om een ​​vergelijking die zal ons toelaten om op te lossen voor de genererende functie vinden A (x). Pak de eerste termijn. Breng de herhaling opzichte van de overige voorwaarden. Splits de som. Extract constante termen. Gebruik de definitie van A (x). Gebruik de formule voor de som van een meetkundige reeks.
4. 4
   Vind de genererende functie a (x).
5. 5
   Vind de coëfficiënt van x ⁿ in a (x). De werkwijzen hiervoor zijn afhankelijk van wat A (x) lijkt op, maar de werkwijze partieelbreuken, gecombineerd met het kennen van de genererende functie van een meetkundige rij, werkt hier getoond.
6. 6
   Schrijf de formule voor een _n door het identificeren van de coëfficiënt van x ⁿ in a (x).