Wkonl

Hoe de grootste gemene deler van twee gehele getallen te vinden


De grootste gemene deler (ggd) van twee gehele getallen, ook wel de grootste gemene deler (GCF) en de grootste gemene deler (HCF), is het grootste gehele getal dat is een deler (factor) van beiden. Bijvoorbeeld, het grootste getal dat zowel 20 en 16 scheidt is 4. (Zowel de 16 en 20 hebben grotere factoren, maar niet groter * gemeenschappelijke * factoren - bijvoorbeeld 8 is een factor 16, maar het is niet een factor 20.)

Op de lagere school, zijn de meeste mensen onderwezen een "gok-en-check" methode om de GCD. In plaats daarvan is er een eenvoudige en systematische manier dat deze vindt altijd het juiste antwoord doen. De methode heet "algoritme van Euclides."

Laten we de twee nummers 'a' en 'b'.

Stappen

Hoe de grootste gemene deler van twee gehele getallen te vinden. Drop geen negatieve tekenen.
Hoe de grootste gemene deler van twee gehele getallen te vinden. Drop geen negatieve tekenen.

Methode 1

  1. 1
    Drop geen negatieve tekenen.
  2. 2
    Ken uw woordenschat: wanneer u deelt 32 door 5,
      • 32 is het dividend
      • 5 is de deler
      • 6 is het quotiënt
      • 2 is de rest (of modulo).
  3. 3
    Identificeer de grootste van de twee getallen. Dat zal het dividend, en hoe kleiner de deler zijn.
  4. 4
    Schrijven dit algoritme: (dividend) = (deler) * (quotiënt) + (restant)
  5. 5
    Zet het grotere aantal in de plek voor dividend, en het kleiner aantal als de deler.
  6. 6
    Beslissen hoeveel keer het kleiner aantal zal verdelen in het groter aantal, en zet het in het algoritme als het quotiënt.
  7. 7
    Bereken de rest, en vervangen door het in de juiste plaats in het algoritme.
  8. 8
    Schrijf uit het algoritme opnieuw, maar dit keer A) gebruik maken van de oude deler als de nieuwe dividend en B) gebruik maken van de rest als de nieuwe deler.
  9. 9
    Herhaal de vorige stap totdat de rest nul is.
  10. 10
    De laatste deler de grootste gemene deler.
  11. 11
    Hier is een voorbeeld, waar we proberen de GCD van 108 en 30 vinden:
  12. 12
    Merk op hoe de 30 en de 18 in de eerste lijn verschuiving posities naar de tweede lijn te maken. Vervolgens, de 18 en de 12 verschuiving naar de derde regel te creëren, en de 12 en 6 verschuiving naar de vierde lijn te creëren. De 3, 1, 1, en 2 dat de vermenigvuldiging symbool volgen ontstaan ​​niet opnieuw. Zij vertegenwoordigen hoeveel keer de deler gaat in het dividend, zodat ze uniek zijn voor elke lijn.

Methode 2

  1. 1
    Drop geen negatieve tekenen.
  2. 2
    Vind de priemontbinding van de nummers, en een lijst van hen uit, zoals aangegeven.
    • Met behulp van 24 en 18 als voorbeeld nummers:
      • 24-2 x 2 x 2 x 3
      • 18-2 x 3 x 3
    • Met behulp van 50 en 35 als voorbeeld nummers:
      • 50-2 x 5 x 5
      • 35-5 x 7
  3. 3
    Identificeer alle gemeenschappelijke priemfactoren.
    • Met behulp van 24 en 18 als voorbeeld nummers:
      • 24 - 2 x 2 x 2 x 32>
      • 18 - 2 x 32> x 3
    • Met behulp van 50 en 35 als voorbeeld nummers:
      • 50-2 x 5 x 5
      • 35 - 5 x 7
  4. 4
    Vermenigvuldig de gemeenschappelijke factoren samen.
    • Bij 24 en 18, vermenigvuldig 2 en 32> elkaar te krijgen 6. Zes is de grootste gemene deler van 24 en 18.
    • Bij 50 en 35, is er niets te vermenigvuldigen. 5 is de enige gemeenschappelijke factor, en derhalve de grootste.
  5. 5
    Afgewerkt.

Tips

  • Een manier om dit, schrijven met behulp van de notatie <dividend> mod <divisor> = de rest is dat GCD (a, b) = b als a mod b = 0, en GCD (a, b) = GCD (b, a mod b) anders.
  • Deze techniek is erg handig bij het verminderen van breuken. Bij het bovenstaande voorbeeld, de fractie -77/91 reduceert tot 7 -11/13 omdat de grootste gemene deler van -77 en 91.
  • Indien 'a' en 'b' beide nul zijn, dan is elke niet-nul getal verdeelt ze allebei, dus is er technisch gezien geen grootste gemene deler in deze zaak. Wiskundigen vaak alleen maar zeggen dat de grootste gemene deler van 0 en 0 is 0, en dat is het antwoord van deze methode geeft.
  • Als voorbeeld, laten we vinden GCD (-77,91). Gebruik eerst 77 in plaats van -77, dus GCD (-77,91) wordt GCD (77,91). Nu, 77 minder is dan 91, zodat we ze moeten ruilen, maar laten we eens kijken hoe het algoritme zorgt dat als we niet doen. Toen we berekenen 77 mod 91, krijgen we 77 (sinds 77 = 91 x 0 + 77). Want dat is niet nul, we schakelaar (a, b) voor (b, a mod b) en dat geeft ons: GCD (77,91) = GCD (91,77). 91 mod 77 geeft 14 (vergeet niet, dat betekent 14 is de rest). Want dat is niet nul, swap GCD (91,77) voor GCD (77,14). 77 mod 14 geeft 7 die niet gelijk is aan nul, dus swap GCD (77,14) voor GCD (14,7). 14 mod 7 is nul, omdat 14 = 7 * 2 zonder rest, dus we stoppen. En dat betekent: GCD (-77,91) = 7.