Een trig vergelijking is een vergelijking die een of vele trig functies van de variabele trig arc x. Oplossen voor x betekent het vinden van de waarden van de trig bogen waarvan trig functies maken het trig vergelijking ware.
- Antwoorden, of waarden van de oplossing bogen, uitgedrukt in graden of radialen. Voorbeelden:
x = pi / 3; x = 5PI / 6; x = 3PI / 2; x = 45 graden.; X = 37.12 graden.; X = 178,37 graden.
- Opmerking: Op de trig eenheidscirkel, de trig functies van een boog zijn dezelfde trig functies van de overeenkomstige hoek. De trig eenheidscirkel definieert alle trig functies van de variabele arc x. Het wordt ook gebruikt als bewijs bij het oplossen van eenvoudige goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden.
- Voorbeelden van trig vergelijkingen:
- sin x + sin 2x = 1/2; tan x + kinderbed x = 1,732;
- cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.
- De trig eenheidscirkel.
- Het is een cirkel met straal = 1 eenheid heeft O. oorsprong. De trig eenheidscirkel definieert 4 belangrijkste trig functies van de variabele arc x die klok in draait erop.
- Wanneer de boog, met de waarde x, varieert op de trig eenheidscirkel:
- De horizontale as OAX definieert de trig functie f (x) = cos x.
- De verticale as OBY definieert de trig functie f (x) = sin x.
- De verticale as AT definieert de trig functie f (x) = tan x.
- De horizontale as BU definieert de trig functie f (x) = x kinderbed.
- De trig eenheidscirkel wordt ook gebruikt om de basis trig vergelijkingen en fundamentele trig ongelijkheden oplossen door de verschillende posities van de boog x op deze cirkel.
Stappen
- 1Weet het oplossen concept.
- Om een trig vergelijking op te lossen, om te zetten in een of vele fundamentele trig vergelijkingen. Oplossen trig vergelijkingen resulteert uiteindelijk in het oplossen van 4 soorten elementaire trig vergelijkingen.
- 2Weet hoe op te lossen fundamentele trig vergelijkingen.
- Er zijn 4 types van elementaire trig vergelijkingen:
- sin x = a; cos x = a
- tan x = a; kinderbedje x = a
- Het oplossen van eenvoudige vergelijkingen trig opbrengsten door het bestuderen van de verschillende posities van de boog x dat draait op de trig cirkel, en door het gebruik van trig conversietabel (of rekenmachine). Om volledig te weten hoe op te lossen deze fundamentele trig vergelijkingen, en dergelijke, zie boek met de titel: "Goniometrie: Oplossen trig vergelijkingen en ongelijkheden" (Amazon e-book 2010).
- Voorbeeld 1. Los sin x = 0.866. Twee antwoorden van conversietabellen (of rekenmachine), en de trig eenheidscirkel:
- x1 = Pi / 3 + 2k.Pi
- x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi
- Voorbeeld 2. Lossen: cos x = -1 / 2
- x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi
- x2 =-2Pi / 3 + 2k.Pi
- Voorbeeld 3. Lossen: tan (x - Pi / 4) = 0
- Antwoord: x = Pi / 4 + k.pi
- Voorbeeld 4. Lossen kinderbed 2x = 1,732
- Antwoord: x = Pi/12 + k.pi / 2
- Er zijn 4 types van elementaire trig vergelijkingen:
- 3Leer de transformaties toegepast bij het oplossen trig vergelijkingen.
- Om een gegeven trig vergelijking transformeren tot elementaire trig degenen, gebruik gezond algebraïsche transformaties (factoring, gemeenschappelijke factor, polynome identiteiten...), definities en eigenschappen van trig functies, en trig identiteiten. Er zijn ongeveer 31, waaronder de laatste 14 trigonometrische identiteiten, 19-31, genoemd Transformation Identities, omdat ze worden gebruikt in de transformatie van trig vergelijkingen. Dit boek laat zien hoe je een bepaalde trig vergelijking transformeren tot elementaire trig vergelijkingen.
- 4Voorbeeld: De trig vergelijking: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 kan worden omgezet, met trig identiteiten, in een product van elementaire trig vergelijkingen:. 4cos x.sin (3x / 2) cos (x / 2) = 0. De basis trig vergelijkingen worden opgelost zijn: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0, en cos (x / 2) = 0.
- 5Vind de bogen waarvan trig functies zijn bekend.
- Voor het leren oplossen van goniometrische vergelijkingen, moet u weten hoe u snel de bogen waarvan de trig functies zijn bekend. Conversie waarden van bogen (of hoeken) worden gegeven door trig tafels of rekenmachines.
- Voorbeeld: Na het oplossen, krijg cos x = 0.732. Rekenmachines geven de oplossing arc x = 42,95 graden. De trig eenheidscirkel zullen andere oplossing bogen die hetzelfde cos waarde hebben geven.
- 6Grafiek de oplossing bogen op de trig eenheidscirkel.
- U kunt een grafiek van de oplossing bogen op de trig eenheidscirkel illustreren. De eindpunten van deze oplossing bogen vormen regelmatige veelhoeken op de trig cirkel. Voorbeelden:
- De eindpunten van de oplossing bogen x = pi / 3 + k.pi / 2 vormen een vierkant op de trig eenheidscirkel.
- De oplossing bogen x = Pi / 4 + k.pi / 3 worden weergegeven door de hoekpunten van een regelmatige zeshoek op de goniometrische eenheidscirkel.
- 7Leer de benaderingen van trig vergelijkingen op te lossen.
- Als de gegeven trig vergelijking bevat slechts een trig-functie, lossen deze als een basispakket trig vergelijking. Indien de gegeven vergelijking twee of meer trig functies zijn 2 benaderingen in oplossing, afhankelijk van de transformatie mogelijk.
- A. Aanpak 1.
- Als de gegeven trig vergelijking bevat slechts een trig-functie, lossen deze als een basispakket trig vergelijking. Indien de gegeven vergelijking twee of meer trig functies zijn 2 benaderingen in oplossing, afhankelijk van de transformatie mogelijk.
- 8Transformeer de gegeven trig vergelijking tot een product in de vorm... F (x) g (x) = 0 en f (x) g (x) h (x) = 0, waarin f (x), g ( x) en h (x) zijn eenvoudig trig vergelijkingen.
- Voorbeeld 5. Lossen: cos x + cos 2x + cos 3x = 0.
- Oplossing: Verander het naar een product, met trig identiteiten:
- cos 2x (-2 cos x + 1) = 0. Vervolgens, het oplossen van de 2 basic trig vergelijkingen:
- cos 2x = 0 en 2cos x + 1 = 0
- Voorbeeld 6. Oplossen: sin x - sin 3x = cos 2x.
- Oplossing: Verander het in een product, met trig identiteiten:
- -Cos 2x (2sin x + 1) = 0. Lossen dan de 2 basis trig vergelijkingen:
- cos 2x = 0 en 2sin x + 1 = 0.
- B. Aanpak 2.
- Transformeer de gegeven trig vergelijking tot een trig vergelijking met slechts een unieke trig functie als variabele. Er zijn een paar tips over hoe je de juiste variabele te selecteren. De gemeenschappelijke variabelen te selecteren zijn: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t en tan (x / 2) = t.
- Voorbeeld 7. Oplossen: sin ^ 2 x + sin ^ 4 x = cos ^ 2 x.
- Solution. Bel cos x = t en transformeren de gegeven vergelijking in een vergelijking met slechts t als variabele: t ^ 4 - 4t ^ 2 + 2 = 0. Los deze vergelijking voor t en vervolgens het oplossen van de fundamentele trig vergelijking cos x = t om x te krijgen.
- Voorbeeld 8. Lossen: tan x + 2 tan ^ 2 x = kinderbed x + 2.
- Solution. Bel tan x = t. Transformeer de gegeven vergelijking in een vergelijking met t als variabele: (2t + 1) (t ^ 2-1) = 0. T oplossen van dit product, dan is het oplossen van de fundamentele trig vergelijking tan x = t voor x.
- 9Oplossen van speciale types van trig vergelijkingen.
- Er zijn enkele speciale types van vergelijkingen trig bepaalde specifieke transformaties vereisen.
- 10Leer de periodieke eigendom van trig functies.
- Alle trig functies zijn periodieke betekenis komen ze terug naar dezelfde waarde na een rotatie gedurende een periode. Voorbeelden:
- De functie f (x) = sin x heeft 2Pi als periode.
- De functie f (x) = tan x heeft Pi als periode.
- De functie f (x) = sin 2x heeft Pi als periode.
- De functie f (x) = cos (x / 2) heeft 4pi als periode.
- Als de termijn is vermeld in het probleem / test, moet je alleen vinden de oplossing boog (s) x binnen deze termijn.
- OPMERKING: Na het oplossen, kunt u de antwoorden controleren met behulp van een grafische rekenmachine om direct grafiek van de gegeven trig vergelijking R (x) = 0. De antwoorden (echte wortels) wordt gegeven in decimalen. Zo wordt Pi weergegeven door de waarde 3,14
- Alle trig functies zijn periodieke betekenis komen ze terug naar dezelfde waarde na een rotatie gedurende een periode. Voorbeelden: